1.1 수학적 대상들은 존재하는가 002

1.2 만물의 존재 양식으로서의 수학 007

1.3 인간의 사유 방식으로서의 수학 015

1.4 수학을 탐구하는 목적 019

1.5 위대한 수학자들 027

1.6 생각해 볼 문제들 030

2.1 수학적 본능 034

2.2 수를 세다 036

2.3 숫자의 등장 038

2.4 산술과 기하의 태동 041

2.5 한계점과 시사점 044

2.6 생각해 볼 문제들 047

3.1 문화적 배경 052

3.2 밀레토스의 자연철학 053

3.3 피타고라스 학파 055

3.4 무한의 문제 059

3.5 플라톤 063

3.6 아리스토텔레스 065

3.7 헬레니즘 시대와 그 이후 067

3.8 유클리드의 원론(Elements) 068

3.9 고대 그리스 수학의 의의와 과학에의 응용 072

3.10 생각해 볼 문제들 076

4.1 수학과 과학의 암흑기(중세) 080

4.2 르네상스와 종교개혁 081

4.3 천문학의 혁명 082

4.4 역학의 혁명 086

4.5 과학혁명에서 배우는 교훈들 093

4.6 생각해 볼 문제들 103

5.1 19세기 전반 수학의 상황 110

5.2 음수의 정당화 115

5.3 복소수(複素數, complex number)의 발견 118

5.4 실수를 정의하다 121

5.5 미적분학의 엄밀화 123

5.6 자연수의 공리화 125

5.7 생각해 볼 문제들 130

6.1 공리화와 엄밀화 134

6.2 무한의 신세계가 열리다 135

6.3 기수(基數, Cardinal number) 140

6.4 서수(序數, Ordinal number) 142

6.5 지어낸 무한 vs 참된 무한 146

6.6 물리적 무한 148

6.7 절대적 무한 152

6.8 유한한 공간 내에 내재된 무한 153

6.9 미술로 표현된 무한 155

6.10 생각해 볼 문제들 158

7.1 논리적 역설들 162

7.2 의미론적 역설들 163

7.3 미봉적인 해결책들 165

7.4 공리적 집합론 166

7.5 ZFC 공리계 169

7.6 선택 공리에 대한 논란 172

7.7 연속체 가설 174

7.8 잠재적 모순과의 동거(?) 175

7.9 생각해 볼 문제들 177

8.1 논리주의(Logicism) 180

8.2 Principia Mathematica(PM) 182

8.3 논리주의에 대한 비판들 185

8.4 직관주의(Intuitionism) 187

8.5 직관주의에 대한 비판들 196

8.6 직관을 중시한 학자들 199

8.7 직관적 사고의 특성 202

8.8 형식주의(Formalism) 208

8.9 형식주의에 대한 비판 210

8.10 대논쟁에 대한 철학적 해석 및 그 이후 211

8.11 생각해 볼 문제들 215

9.1 형식문의 Gödel numbering 219

9.2 메타수학의 산술식화 220

9.3 제1 불완전성 정리 221

9.4 제2 불완전성 정리의 증명 223

9.5 불완전성 정리의 함의들 224

9.6 생각해 볼 문제들 230

10.1 결정 문제(Entscheidungsproblem) 235

10.2 Turing machine 236

10.3 튜링 기계의 정지 문제(Halting problem) 239

10.4 알고리즘을 뛰어넘는 인간 사고 242

10.5 결정 문제와 제1 불완전성 정리 244

10.6 결정 불가 문제들의 예 245

10.7 계산 가능한 수 vs 측정 가능한 수 246

10.8 P vs NP 249

10.9 양자 컴퓨터 254

10.10 생각해 볼 문제들 256

11.1 기계가 사고할 수 있는가 260

11.2 인공 신경망(Artificial Neural Network) 264

11.3 인공지능의 성과와 전망 271

11.4 인공지능의(AI-generated) 수학과 과학 279

11.5 인공지능과 인간 284

11.6 생각해 볼 문제들 295

에필로그 297

부록 299

A.1 수학적 실재론과 사회적 구성주의는 공존 가능한가? 300

A.2 통약 불가능성(Incommensurability) 304

A.3 반증 가능성 305

A.4 포스트모더니즘(Postmodernism) 307

A.5 제1 원리(First principle) 308

A.6 대칭(Symmetry) 309

A.7 |ℝ|의 증명 311

A.8 동치 관계(Equivalence Relation) 312

A.9 바나흐-타르스키 역설의 2차원 version 313

A.10 중간값 정리 314

A.11 얽힘(Entanglement) 316

A.12 게임 이론 317

A.13 세계관 318

문제 힌트 319

1장 5번 문제 320

2장 2번 문제 322

4장 5번 문제 323

5장 5번 문제 324

6장 4번 문제 324

9장 2번 문제 325

10장 3번 문제327

11장 2번 문제 327

참고문헌 329

찾아보기 335 

수학의 본질은 그 자유로움에 있다 - G. Cantor

지혜로 하늘을 만드신 분께 감사하여라. 그 인자하심이 영원하다. - 시편 136:5

이 책은 한국 교원대에서 (예비)교사들을 대상으로 했던 여러 강의들에 기초한 것으로, 만물의 존재 방식이자 인류의 지적 유산인 수학에 관한 다양한 생각들을 수학의 역사를 되짚어보며 소개하고자 저술한 책입니다.

인간이 처음으로 수학을 하게 된 것은 아마 1+1=2를 인식한 것이 아닐까 합니다. 단순하지만 의미심장한 명제로서, 인류가 만들어낸 모든 과학기술 문명도 이 명제에 의존하고 있습니다. 하지만 정말 그것이 확실한 것인지, 1+1이 3이 되는 일은 결코 일어날 수 없음을 증명할 수 있을까 하는 물음에 대한 답은 간단치 않고, 신비하게도 무한의 존재와 결부되어 있습니다. 무한의 의미와 실재성은 수학의 확실성을 가름하는 핵심 관건이며, 100여 년 전 수학자들은 이 문제를 놓고 격렬히 논쟁했습니다. 수학의 절대적 확실성을 보이려는 수학자들의 노력은 다 실패하고 말았지만, 수학의 ‘상대적 확실성’은 명확하게 규정될 수 있습니다. 이것이 이 책 전체를 관통하는 주요 주제라고 할 수 있지만 딱딱한 수리 논리와 철학적 이론보다는 흥미로운 수학사, 신비하고 아름다운 수학의 세계를 보여주는 데 초점을 맞추었습니다.

수학이 갖는 또 다른 신비는 자연을 정확하고 효율적으로 기술한다는 것입니다. 수학을 구성한 인간도 자연의 일부이기 때문일까요? 아니면 자연이 수학적 구조 그 자체이기 때문일까요? 본서를 통해 수학의 세계가 자연 세계와 어떤 관련을 가지는지 알고자 했으며, 완전한 수학의 세계가 실재하고 보편타당한 객관적 진리가 존재한다는 사상과 인간이 사회적으로 구성한 불완전한 지식 체계로서의 수학만이 있을 뿐이라는 사상을

다 아우르는 관점을 찾고자 했습니다. 또 수학에서 탄생한 ‘생각하는 기계’ 인공지능이 산출하는 수학이 인간의 수학과 어떻게 다를지에 대해서도 사색해 보았습니다.

피상적 이해에 그치지 않기 위해 필요하다면 수식을 써서 설명을 했는데, 대부분의 수식들은 대학 1학년생이면 누구나 이해할 수 있도록 했으며, 어려운 수식들은 이해하지 못하더라도 전체적인 내용을 이해하는 데 무리가 없고, 다만 관련 전공자에겐 정확하고 깊이 있는 설명을 제공하리라 기대합니다. 강의에 사용할 수 있도록 매 장이 끝마칠 때마다 생각해 볼 문제들을 제시하여 학생 스스로 자신만의 창의적 사고를 해 볼 수 있도록 하였습니다.

이 책은 청소년 시절 자연의 신비와 아름다움에 매료되어 시작된 저자의 진리 탐구를 정리해본 것으로서 아무쪼록 이 졸저를 통해 독자들도 수학과 자연의 신비와 아름다움을 느끼게 되고, 그것이 인간에게 주는 의미가 무엇인지 알게 되었으면 하는 바램입니다. 책의 주제가 포괄하는 범위가 너무 방대하고 깊다 보니 대부분의 내용은 저자의 독창적인 생각이 아니라 선진들의 생각들을 취합하여 재구성한 것입니다. 특히 모리스 클라인의

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