Chapter 01 칼라비-야우다양체(Calabi-Yau Manifolds) 1

1.1 켈러-아인스타인다양체(Kähler-Einstein Manifold) 1

1.2 칼라비-야우다양체(Calabi-Yau Manifold) 7

1.3 칼라비-야우다양체의 예(Examples of Calabi-Yau Manifolds) 11

Chapter 02 글로모브-위튼불변량(Gromov-Witten Invariants) 22

2.1 글로모브-위튼모듀라이 공간(Gromov-Witten Moduli Space) 22

2.2 글로모브-위튼불변량(Gromov-Witten Invariant) 25

2.3 글로모브-위튼불변량의 공리(Axioms of Gromov-Witten Invariant) 31

2.4 글로모브-위튼불변량의 예와 성질

(Examples and Properties of Gromov-Witten Invariant) 38

Chapter 03 퀀텀코호몰로지(Quantum Cohomology) 46

3.1 작은퀀텀코호몰로지(Small Quantum Cohomology) 47

3.2 큰퀀텀코호몰로지(Big Quantum Cohomology) 57

Chapter 04 에쿠이바리안트 코호몰로지(Equivariant Cohomology) 72

4.1 에쿠이바리안트 코호몰로지(Equivariant Cohomology) 72

4.2 국소화(Localization) 76

4.3 에쿠이바리안트 글로모브-위튼불변량

(Equivariant Gromov-Witten Invariant) 85

칼라비(Eugenio Calabi)는 1954년 국제수학자대회에서 “콤팩트 켈러다양체

(Kähler manifold)의 첫번째 천류를 나타내는 2-폼이 주어지면 유일한 켈러

메트릭이 존재하여 메트릭의 리치폼(Ricci form)이 주어진 2-폼이 될 것이

다”란 추측을 발표하였다. 켈러메트릭이 있으면 유일함은 칼라비가 밝혔

고, 1978년 야우(Shing-Tung Yau)가 첫번째 천류가 제로(zero)일 때 리치폼

이 제로인 켈러메트릭의 존재성을 밝혔다. 이 결과에 힘입어 야우는 필즈

상(Fields medal)을 수상하였으며, 거울대칭(mirror symmetry) 연구의 장을

열었다.

리치곡률(Ricci curvature)이 제로인 켈러-아인슈타인다양체(Kähler-Einstein

manifold)를 칼라비-야우다양체(Calabi-Yau Manifold)라 한다.

칼라비-야우다양체는 초끈이론(super string theory) 특히 초닮음장이론,

SCFT(super conformal field theory)를 연구하는데 중요한 대상이다. 여기에

켈러모듀라이공간(Kähler moduli space)과 복소모듀라이공간(complex

moduli space)이 공존하고 서로 거울대칭(mirror symmetry)관계에 있으며,

켈러메트릭의 존재성은 켈러모듀라이공간 연구와 호지구조의 변형

(variation of Hodge structures)에 필수조건이다. 야우의 결과는 그 자체로도

중요하지만, 거울대칭 연구에 발판을 마련하였다는 점에서 주목할 만하다.

거울대칭의 주요 연구대상은 칼라비-야우 다양체에서 켈러모듀라이공간

과 복소모듀라이공간의 기하학적 구조와 연관성을 밝히는 것과, 켈러구조

로부터 생성된 글로모브-위튼불변량(Gromov-Witten invariant)과 복소모듀

라이공간에서 정의된 유카와결합(Yukawa coupling)을 연결하여 연구하는

것이다.

처음에는 글로모브-위튼불변량(Gromov-Witten invariant)은 심플렉틱다양

체에서 정의하여 퀀텀코호몰로지(quantum cohomology)와 플로에코호몰로

조용승 교수는 시카고대학교(The University of Chicago)에서

Ph.D.를 취득하고, 미국 브랜다이스대학교(Brandeis University)

수학과 교수직을 시작으로 경북대학교, 이화여자대학교

교수를 하였으며, 이화여자대학교에서 정년퇴임 후 고려

대학교와 성균관대학교에서 초빙교수를 역임하였다. 현재는

이화여자대학교 명예교수이다.

사회봉사로는 대한수학회 회장, 수학분야 우리나라 최초의

정부출연연구소인 국가수리과학연구소(National Institute for

Mathematical Sciences; NIMS) 설립 및 초대소장, 국가과학

기술위원회 운영위원, 수학의 대중화에 힘써 조선일보,

중앙일보, 과학기술지 등에 수학관련 기고를 하였고 국민일보

논단위원을 역임하였으며, 과학영재아카데미 지도교수로도

활동하였다.

연구분야는 사차원다양체에서 양-밀즈게이즈이론(유한군 작

용의 코호몰로지 방해류 발견), 사이버그-위튼이론(비심

플렉틱 다양체에서 불변량 발견), 심플렉틱다양체에서 글로

모브-위튼불변량(후레비치수 계산), 퀀텀코호몰로지(코심플

렉틱 다양체에서 아놀드예측 증명), 코스몰로지에서 빅뱅이론

(초끈이론에 일반상대성을 이용하여 우주의 탄생·팽창·

회전·뒤틀림을 규명)과 더불어 코심플렉틱다양체에서 글로

모브-위튼타입불변량과 퀀텀타입코호몰로지로 연구분야를

확장하였다.

최근에 호지추측(Hodge conjecture)과 셔츠추측(Lefschetz

conjecture)을 증명하여 학술지에 게재하였다. 현재는 거울

대칭(Mirror symmetry)에 대하여 연구하고 있다.

<조용승 교수의 홈페이지: home.ewha.ac.kr/~yescho>​ 

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